Argumento Logaritmo y Raız nesima Y Compactificacion del plano complejo

Argumento Logaritmo y Raız nesima

El argumento: arg z, de un n´umero complejo, distinto de cero, es un conjunto infinito de numeros reales y verifica que si φ ∈ arg z entonces a = z cos(arg z) b = z sen(arg z)

El logaritmo: es una función que permite calcular el área bajo la función en el intervalo de F (x)= 1/x.

Raiz nesima:La representación polar tiene especial importancia en este estudio, pues usándola, es facil ver que, dado z diferente 0 y n ∈ N, la ecuación wn = z tiene exactamente n soluciones, que son:

w = z1/nei Arg z+2kπ

n , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Si queremos alguna notación, √n z deberá denotar el conjunto de estos n elementos, aunque en algunos textos,√n z indica solamente el valor z1/nei Arg z n (que nosotros llamaremos ra´ız n-´esima principal).

Compactificacion de C

Al no estar C acotado no es compacto. Para compactificar C se añade un punto, ∞, y se considera como base de entornos la que resulta de unir a la usual de C, las bolas o discos, los conjuntos {z ∈ C : z > n, n ∈ N} como entornos del ∞.

Para el algebra en C∗ se tienen en cuenta las siguientes convenciones. Si
a es un n´umero complejo

1) ∞} a = ∞.
2) a }∞ = ∞.
3) a/0 = ∞ si a diferente 0.
4) a/∞ = 0.
5) ∞a = ∞ si a diferente 0.

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Transformaciones de Moebius o bilineales